Среднеквадратичная погрешность это

Содержание

Приказ Министерства экономического развития Российской Федерации (Минэкономразвития России) от 17 августа 2012 г. N 518 г. Москва

Среднеквадратичная погрешность это

Зарегистрирован в Минюсте РФ 25 декабря 2012 г. Регистрационный N 26340

В соответствии с частью 7 статьи 38 и частью 10 статьи 41 Федерального закона от 24 июля 2007 г. N 221-ФЗ “О государственном кадастре недвижимости” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2007, N 31, ст. 4017; 2008, N 30, ст. 3597; 2009, N 52, ст. 6410; 2011, N 1, ст. 47; N 50, ст. 7365) приказываю:

1. Установить требования к точности и методам определения координат характерных точек границ земельного участка, а также контура здания, сооружения или объекта незавершенного строительства на земельном участке согласно приложению.

2. Настоящий приказ вступает в силу по истечении 90 дней после дня его официального опубликования.

Врио Министра А. Клепач

Приложение

Требования к точности и методам определения координат характерных точек границ земельного участка, а также контура здания, сооружения или объекта незавершенного строительства на земельном участке

1. Характерной точкой границы земельного участка является точка изменения описания границы земельного участка и деления ее на части1.

2. Положение на местности характерных точек границы земельного участка и характерных точек контура здания, сооружения или объекта незавершенного строительства на земельном участке (далее – характерные точки, характерная точка) описывается их плоскими прямоугольными координатами, вычисленными в системе координат, установленной для ведения государственного кадастра недвижимости.

3. Координаты характерных точек определяются следующими методами:

1) геодезический метод (триангуляция, полигонометрия, трилатерация, прямые, обратные или комбинированные засечки и иные геодезические методы);

2) метод спутниковых геодезических измерений (определений);

3) фотограмметрический метод;

4) картометрический метод;

5) аналитический метод.

4. Исходными пунктами для определения плоских прямоугольных координат характерных точек геодезическим методом и методом спутниковых геодезических измерений (определений) являются пункты государственной геодезической сети и геодезических сетей специального назначения (опорные межевые сети).

Для оценки точности определения координат характерных точек рассчитывается средняя квадратическая погрешность.

5. Средняя квадратическая погрешность местоположения характерных точек принимается равной величине средней квадратической погрешности характерной точки, имеющей максимальное значение.

Средняя квадратическая погрешность местоположения характерной точки определяется по следующей формуле:

где:

Мt – средняя квадратическая погрешность местоположения характерной точки относительно ближайшего пункта опорной межевой сети;

m0- средняя квадратическая погрешность местоположения точки съемочного обоснования относительно ближайшего пункта опорной межевой сети;

m1 – средняя квадратическая погрешность местоположения характерной точки относительно точки съемочного обоснования, с которой производилось ее определение.

6. Величина средней квадратической погрешности местоположения характерной точки границы земельного участка не должна превышать значения точности определения координат характерных точек границ земельных участков, из установленных в приложении к настоящим требованиям.

7. Координаты характерных точек контура здания, сооружения или объекта незавершенного строительства определяются с точностью определения координат характерных точек границ земельного участка, на котором расположены здание, сооружение или объект незавершенного строительства.

Если здание, сооружение или объект незавершенного строительства располагаются на нескольких земельных участках, для которых установлена различная точность определения координат характерных точек, то координаты характерных точек контура здания, сооружения или объекта незавершенного строительства определяются с точностью, соответствующей более высокой точности определения координат характерных точек границ земельного участка.

8. Для определения средней квадратической погрешности местоположения характерной точки используются формулы, соответствующие методам определения координат характерных точек.

9. Геодезические методы.

Вычисление средней квадратической погрешности местоположения характерных точек производится с использованием программного обеспечения, посредством которого ведется обработка полевых материалов, в соответствии с применяемыми способами (теодолитные или полигонометрические ходы, прямые, обратные или комбинированные засечки и иные).

При обработке полевых материалов без применения программного обеспечения для определения средней квадратической погрешности местоположения характерной точки используются формула, указанная в пункте 5 настоящих требований, а также формулы расчета средней квадратической погрешности, соответствующие способам определения координат характерных точек.

10. Метод спутниковых геодезических измерений.

Вычисление средней квадратической погрешности местоположения характерных точек производится с использованием программного обеспечения, посредством которого выполняется обработка материалов спутниковых наблюдений, а также по формуле, указанной в пункте 5 настоящих требований.

11. Фотограмметрический метод.

Величина среднеквадратической погрешности местоположения характерных точек принимается равной 0,0005 м в масштабе аэроснимка (космоснимка), приведенного к масштабу соответствующей картографической основы.

12. Картометрический метод.

При определении местоположения характерных точек, изображенных на карте (плане), величина средней квадратической погрешности принимается равной 0,0005 м в масштабе карты (плана).

13. Аналитический метод.

Величина средней квадратической погрешности местоположения характерных точек принимается равной величине средней квадратической погрешности местоположения характерных точек, используемых для вычислений.

14. Если смежные земельные участки имеют различные требования к точности определения координат их характерных точек, то общие характерные точки границ земельных участков определяются с точностью, соответствующей более высокой точности определения координат характерных точек границ земельного участка.

15. По желанию заказчика договором подряда на выполнение кадастровых работ может быть предусмотрено определение местоположения характерных точек с более высокой точностью, чем установлено настоящими требованиями. В этом случае определение координат характерных точек производится с точностью, указанной в договоре подряда.

1Часть 7 статьи 38 Федерального закона от 24 июля 2007 г. N 221-ФЗ “О государственном кадастре недвижимости” (Собрание законодательства Российской Федерации, 2007, N 31, ст. 4017; 2008, N 30. ст. 3597; 2009, N 52, ст. 6410; 2011, N 1, ст. 47; N 50, ст. 7365).

Источник: https://rg.ru/2013/01/16/trebovaniya-dok.html

Дисперсия, среднеквадратичное (стандартное) отклонение, коэффициент вариации в Excel

Среднеквадратичная погрешность это

Из предыдущей статьи мы узнали о таких показателях, как размах вариации, межквартильный размах и среднее линейное отклонение. В этой статье изучим дисперсию, среднеквадратичное отклонение и коэффициент вариации.

Дисперсия

Дисперсия случайной величины – это один из основных показателей в статистике. Он отражает меру разброса данных вокруг средней арифметической.

Сейчас небольшой экскурс в теорию вероятностей, которая лежит в основе математической статистики. Как и матожидание, дисперсия является важной характеристикой случайной величины. Если матожидание отражает центр случайной величины, то дисперсия дает характеристику разброса данных вокруг центра.

Формула дисперсии в теории вероятностей имеет вид:

То есть дисперсия — это математическое ожидание отклонений от математического ожидания.

На практике при анализе выборок математическое ожидание, как правило, не известно. Поэтому вместо него используют оценку – среднее арифметическое. Расчет дисперсии производят по формуле:

где

s2 – выборочная дисперсия, рассчитанная по данным наблюдений,

X – отдельные значения,

X̅– среднее арифметическое по выборке.

Стоит отметить, что у такого расчета дисперсии есть недостаток – она получается смещенной, т.е. ее математическое ожидание не равно истинному значению дисперсии. Подробней об этом здесь. Однако при увеличении объема выборки она все-таки приближается к своему теоретическому аналогу, т.е. является асимптотически не смещенной.

Простыми словами дисперсия – это средний квадрат отклонений. То есть вначале рассчитывается среднее значение, затем берется разница между каждым исходным и средним значением, возводится в квадрат, складывается и затем делится на количество значений в данной совокупности. Разница между отдельным значением и средней отражает меру отклонения.

В квадрат возводится для того, чтобы все отклонения стали исключительно положительными числами и чтобы избежать взаимоуничтожения положительных и отрицательных отклонений при их суммировании. Затем, имея квадраты отклонений, просто рассчитываем среднюю арифметическую. Средний – квадрат – отклонений. Отклонения возводятся в квадрат, и считается средняя.

Теперь вы знаете, как найти дисперсию.

Расчет дисперсии в Excel

Генеральную и выборочную дисперсии легко рассчитать в Excel. Есть специальные функции: ДИСП.Г и ДИСП.В соответственно.

В чистом виде дисперсия не используется. Это вспомогательный показатель, который нужен в других расчетах. Например, в проверке статистических гипотез или расчете коэффициентов корреляции. Отсюда неплохо бы знать математические свойства дисперсии.

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины A равна 0 (нулю).

D(A) = 0

Свойство 2. Если случайную величину умножить на постоянную А, то дисперсия этой случайной величины увеличится в А2 раз. Другими словами, постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

D(AX) = А2 D(X)

Свойство 3. Если к случайной величине добавить (или отнять) постоянную А, то дисперсия останется неизменной.

D(A + X) = D(X)

Свойство 4. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий.

D(X+Y) = D(X) + D(Y)

Свойство 5. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия их разницы также равна сумме дисперсий.

D(X-Y) = D(X) + D(Y)

Среднеквадратичное (стандартное) отклонение

Если из дисперсии извлечь квадратный корень, получится среднеквадратичное (стандартное) отклонение (сокращенно СКО). Встречается название среднее квадратичное отклонение и сигма (от названия греческой буквы). Общая формула стандартного отклонения в математике следующая:

На практике формула стандартного отклонения следующая:

Как и с дисперсией, есть и немного другой вариант расчета. Но с ростом выборки разница исчезает.

Расчет cреднеквадратичного (стандартного) отклонения в Excel

Для расчета стандартного отклонения достаточно из дисперсии извлечь квадратный корень. Но в Excel есть и готовые функции: СТАНДОТКЛОН.Г и СТАНДОТКЛОН.В (по генеральной и выборочной совокупности соответственно).

Среднеквадратичное отклонение имеет те же единицы измерения, что и анализируемый показатель, поэтому является сопоставимым с исходными данными.

Коэффициент вариации

Значение стандартного отклонения зависит от масштаба самих данных, что не позволяет сравнивать вариабельность разных выборках. Чтобы устранить влияние масштаба, необходимо рассчитать коэффициент вариации по формуле:

По нему можно сравнивать однородность явлений даже с разным масштабом данных. В статистике принято, что, если значение коэффициента вариации менее 33%, то совокупность считается однородной, если больше 33%, то – неоднородной.

В реальности, если коэффициент вариации превышает 33%, то специально ничего делать по этому поводу не нужно. Это информация для общего представления.

В общем коэффициент вариации используют для оценки относительного разброса данных в выборке.

Расчет коэффициента вариации в Excel

Расчет коэффициента вариации в Excel также производится делением стандартного отклонения на среднее арифметическое:

=СТАНДОТКЛОН.В()/СРЗНАЧ()

Коэффициент вариации обычно выражается в процентах, поэтому ячейке с формулой можно присвоить процентный формат:

Коэффициент осцилляции

Еще один показатель разброса данных на сегодня – коэффициент осцилляции. Это соотношение размаха вариации (разницы между максимальным и минимальным значением) к средней. Готовой формулы Excel нет, поэтому придется скомпоновать три функции: МАКС, МИН, СРЗНАЧ.

Коэффициент осцилляции показывает степень размаха вариации относительно средней, что также можно использовать для сравнения различных наборов данных.

Таким образом, в статистическом анализе существует система показателей, отражающих разброс или однородность данных. 

Ниже видео о том, как посчитать коэффициент вариации, дисперсию, стандартное (среднеквадратичное) отклонение и другие показатели вариации в Excel.

в социальных сетях:

Источник: https://statanaliz.info/statistica/opisanie-dannyx/dispersiya-standartnoe-otklonenie-koeffitsient-variatsii/

Оценивание погрешностей измерений. Конспект лекций (стр. 3 )

Среднеквадратичная погрешность это

Экспериментальные способы исключения погрешностей освобождают экспериментатора от необходимости определения многочисленных поправок. Создание и выбор метода измерений для исключения погрешности является сложной задачей и зависит опыта и подготовленности специалиста.

Полученные при измерениях результаты подлежат обработке по соответствующим статистическим правилам. Способ обработки экспериментальных данных зависит от вида измерений (прямые, косвенные, совокупные и совместные), числа наблюдений (однократные, многократные измерения), равноточности.

В процессе обработки результатов наблюдений следует решить следующие задачи:

установить отсутствие в результатах грубых погрешностей по статистическим критериям и исключить их, если они имеются;

исключить известные систематические погрешности введением поправки или поправочного множителя;

проверить наличие систематических погрешностей и найти способы оценки и возможности максимального исключения их;

определить оценку истинного значения измеряемой величины и показатели точности этой оценки.

4.3. Оценивание погрешностей при прямых однократных измерениях

В случае пренебрежения случайной составляющей погрешности измерения суммарная неисключенная систематическая погрешность измерения оценивается по формуле 1, если каждая из суммируемых систематических погрешностей задается своими границами

(1)

где — границы неисключенной систематической погрешности измерения;

— число неисключенных систематических погрешностей;

— коэффициент, зависящий от доверительной вероятности P и числа m (Приложение 1).

Если каждая из неисключенных систематических погрешностей измерения задана доверительными границами, то суммарная неисключенная систематическая погрешность оценивается по формуле

(2)

где — доверительная граница j-ой неисключенной систематической погрешности, соответствующая доверительной вероятности ;

— коэффициент, зависящий от выбранной доверительной вероятности и закона распределения.

В рассмотренном случае за погрешность измерения принимается неисключенная систематическая погрешность, вычисленная по формулам 1 или 2. Окончательный результат измерения физической величины может быть представлен в виде:

Пример 1
оценивания погрешности однократного измерения

Измерение падения напряжения на участке измерительной цепи сопротивлением R = 4 Ом осуществляется вольтметром класса точности 0,5 с верхним пределом диапазона измерений 1,5 В. Стрелка вольтметра остановилась против цифры 0,95 В. Измерение выполняется в сухом отапливаемом помещении с температурой 30 ˚С при магнитном поле до 400 А/м. Сопротивление вольтметра 1000 Ом.

Основная погрешность вольтметра указана в приведенной форме. Следовательно, при показании вольтметра 0,95 В предел допускаемой относительной основной погрешности вольтметра на этой отметке шкалы равен:

Дополнительная погрешность из-за влияния магнитного поля дополнительная температурная погрешность обусловлена отклонением температуры от нормальной на 10 ˚С и равна

В рассматриваемом случае основная и дополнительные систематические погрешности заданы своими границами и поэтому суммарная неисключенная систематическая погрешность измерения вычисляется по формуле

При доверительной вероятности Р = 0,95 и числе неисключенных систематических погрешностей m = 3 коэффициент
k = 1,1 (Приложение 1).

Следовательно, в абсолютной форме

Оценим теперь методическую погрешность измерения. Эта погрешность определяется соотношением между сопротивлением участка цепи R и сопротивлением вольтметра . Методическая погрешность в абсолютной форме может быть вычислена по формуле

Оцененная методическая погрешность является систематической составляющей погрешности измерения и должна быть
внесена в результат измерения в виде поправки. Поэтому окончательный результат должен быть представлен в виде:

В случае оценивания погрешности измерения, состоящей из систематической и случайной составляющих погрешности, можно рекомендовать следующий порядок проведения расчетов.

Суммарная неисключенная систематическая составляющая погрешности измерения оценивается по формулам

Оценивание СКО случайной составляющей погрешности измерения проводят по формуле

(3)

где — СКО случайных составляющих погрешностей измерения (метода, оператора и т. п.);

m — число случайных составляющих погрешностей измерения.

Доверительные границы случайной составляющей погрешности измерения оцениваются по формуле

(4)

где — коэффициент, зависящий от доверительной вероятности и закона распределения.

В рассматриваемом случае за погрешность измерения принимается погрешность, вычисленная по формуле

(5)

где — неисключенная систематическая составляющая погрешности измерения, вычисленная по формулам 1 или 2;

— коэффициент, выбираемый из таблицы в зависимости от доверительной вероятности и отношения
(Приложение 2).

Окончательный результат измерения физической величины может быть представлен в виде

Пример 2
оценивания погрешности однократного измерения

Измерение падения напряжения на участке цепи осуществляется вольтметром В3-49 с диапазоном измерения от 10 мВ до 100 В. Стрелка вольтметра остановилась против цифры 40 В. Основная погрешность вольтметра в процентах от показания прибора не превышает

Температурная погрешность и погрешность от нестабильности напряжения и частоты не превышают половины основной. Среднее квадратическое отклонение не превышает одной пятой основной погрешности.

Оценить суммарную погрешность измерения падения напряжения при доверительной вероятности P = 0,95.

Основная погрешность в данном случае равна:

в относительной форме

в абсолютной форме

Дополнительные погрешности от непостоянства температуры, напряжения питания и частоты равны:

Суммарная неисключенная систематическая погрешность измерения равна:

Доверительные границы случайной составляющей погрешности измерения для доверительной вероятности 0,95 равны:

Погрешность измерения падения напряжения вольтметром ВЗ-49 равна:

Коэффициент , т. к. и доверительная вероятность P = 0,95 (Приложение 2).

Окончательный результат может быть представлен в виде:

4.4. Оценивание погрешностей при прямых
многократных измерениях

При прямых многократных измерениях погрешность измерения физической величины складывается из суммарной неисключенной систематической составляющей и случайной составляющей погрешности измерения.

Суммарная неисключенная систематическая составляющая погрешности измерения рассчитывается по формулам

или

Прежде чем оценивать СКО случайной составляющей погрешности измерения, следует проверить наличие результатов наблюдений, искаженных грубыми погрешностями, и если они есть — исключить из дальнейшей обработки. Проверку следует проводить в соответствии с приведенным далее критерием.

При рассмотрении результатов наблюдений, полученных при измерении физической величины в виде ряда иногда обнаруживается, что крайние члены (наименьший результат и наибольший ) значительно отличаются от ближайших членов. В этом случае можно предположить, что крайние члены искажены грубыми погрешностями, и возникает вопрос: не следует ли отбросить эти результаты.

Если в ходе эксперимента не было причин, заставляющих усомниться в правильности проведенных измерений, то считать эти крайние результаты промахами, основываясь только на субъективной оценке, не следует.

Правила оценки результатов наблюдений, содержащих грубые погрешности, устанавливают следующий порядок обработки результатов наблюдений.

Сначала определяют среднее арифметическое значение результатов наблюдений по формуле

Затем вычисляют оценку СКО результатов наблюдений:

Чтобы оценить результаты наблюдений находят отношения и по формулам

и

Найденные значения и сравнивают с величиной , которую выбирают из таблицы (Приложение 3) по числу наблюдений и уровню значимости

Если , считают, что результат содержит грубую погрешность и должен быть исключен. Оценка результата производится аналогичным образом.

Оценку СКО случайной составляющей погрешности измерения находят по формуле

(6)

где — iй результат наблюдения;

— среднее арифметическое значение;

— число результатов.

Доверительные границы случайной составляющей погрешности измерения вычисляются по формуле

Границы погрешности результата измерения находят по формуле

, (7)

где

— доверительные границы случайной составляющей погрешности измерений, вычисленные по формуле 4;

— суммарная неисключенная систематическая составляющая погрешности измерения, вычисленная по формулам 1 или 2;

— оценка СКО случайной составляющей погрешности измерения, вычисленная по формуле 6;

— число составляющих неисключенных систематических погрешностей измерений;

j-я неисключенная систематическая составляющая погрешности измерения.

Окончательный результат измерения физической величины может быть представлен в виде:

Пример оценивания погрешности
при прямых многократных измерениях

Многократные (n = 100) измерения падения напряженияна участке электрической цепи осуществляются вольтметромВК7-10А/1. В рабочем диапазоне от 0 до 10 В основная

погрешность вольтметра вычисляется по формуле Дополнительная погрешность за счет временной нестабильности характеристик прибора за один час работы равна

Источник: https://pandia.ru/text/78/140/90109-3.php

Средняя квадратическая погрешность (С.К.П.)

Среднеквадратичная погрешность это

Лекция 3.

Оценка точности геодезических измерений.

1. Виды измерений.

Виды погрешностей измерений.

Свойства случайных погрешностей.

2. Меры точности равноточных измерений.

Арифметическая середина и оценка её точности.

Средние квадратические погрешности функций измеренных величин.

3. Неравноточные измерения.

Виды измерений.

Измерить какую-либо величину —значит сравнить её с однородной ей величиной, принятой за единицу меры.

Результат измерений есть число, показывающее, сколько раз единица меры содержится в измеряемой величине, при этом число может быть целым и дробным.

Виды измерений:

– прямые и косвенные;

– необходимые и избыточные;

– равноточные и неравноточные.

Прямые – если измеряется непосредственно какая-либо величина; искомый результат получается прямо из измерений.

Косвенные —если значение искомой величины, находится вычислением на основании непосредственно измеренных величин.

Необходимые —измерения, дающие одно значение измеряемой величины.

Бесконтрольное измерение

Избыточные —все n измерений одной величины, кроме одного, т.е. п-1.

Избыточные измерения не следует смешивать с понятием «излишние измерения» они обязательны.

Необходимы для контроля измерений и повышения надёжности значения искомой величины.

Равноточные —измерения, выполненные в одинаковых условиях, а поэтому имеют практически одинаковую точность.

Условия:

– прибор

– способ измерения

– число измерений (приёмов)

– квалификация наблюдателя

– внешние условия.

Неравноточные —измерения, выполненные в одинаковых условиях, а поэтому имеющие
разную точность.

Виды погрешностей измерений.

Свойства случайных погрешностей.

Любое измерение сопровождается погрешностью.

Погрешность результата измерений —это разность между измеренным и истинным (точным) значением определяемой величины.

(это разность между тем, что есть и тем, что должно быть).

Виды погрешностей:

– грубые;

– систематические;

– случайные.

Грубые —погрешности, величина которых совершенно недопустима при данных условиях измерений.

Возникают вследствие просчётов, промахов, например:

– просчёт количества отложений мерной ленты при измерении расстояний;
– просчёт в снятии отсчёта по лимбу теодолита в 1,10″;

– просчёт при покупках на 1, 10 руб.

Грубые ошибки выявляются и устраняются избыточными измерениями.

Систематические

– погрешности, которые входят в каждый результат по определённому закону.

Могут подразделяться на:

– постоянные по знаку и величине;

– переменные по знаку и величине.

Примеры:

— измеряется расстояние (линия L) лентой длиной L=20м., которой больше или меньше на величину ;

Конечный результат измерения будет отличаться на величину.

где L –длина линии.

– длина ленты проверялась при температуре ,а измерения проводятся при температуре t. Результат измерений будет содержать погрешность пропорциональную разности температур и длине линии.

Причины появления систематических ошибок необходимо изучать в каждом отдельном случае. Влияние их на результат измерения должен исключаться или сводится к минимуму путём введения поправок в результат измерения.

Случайные —погрешности, возникновение которых не удаётся подчинить определённым законом.

Случайные погрешности неизбежны.

Источники случайных ошибок:

– прибор

– наблюдатель

– внешние условия.

Уменьшение влияния случайных ошибок может быть достигнуто совершенствованием приборов, повышением квалификации.

Обозначения:

– точное (истинное) значение величин Х

– измеренное значение величин l

– случайная погрешность

или

Если l>Х то (+ ), если l

Источник: https://megaobuchalka.ru/8/19432.html

Среднеквадратичное отклонение

Среднеквадратичная погрешность это

При рассмотрении какой-либо величины и её изменения важным является не только понятие среднего арифметического этой величины, но и её отклонение.

Для оценки отклонения и разброса измеряемой величины пользуются несколькими различными критериями, например, абсолютной погрешностью, иначе называемой отклонением от среднего каждой конкретной величины.

Но абсолютная погрешность не является критерием, показывающим разброс измеряемой величины, так как сумма всех абсолютных погрешностей равна нулю.

Поэтому для оценки погрешности вводится другая величина, называемая средним квадратическим отклонением.

Основные понятия

Для объяснения термина «среднеквадратичное отклонение» необходимо ознакомиться с используемой терминологией.

Определение 1

Средним арифметическим или средней величиной называют число, являющееся суммой всех проведённых измерений, разделённой на количество этих измерений.

Для пяти чисел $a_1, a_2, a_3, a_4$ и $a_5$ средняя величина $M$ определяется по формуле

$M=\frac{a_1+ a_2+ a_3+ a_4+ a_5}{5}$.

  • Курсовая работа 470 руб.
  • Реферат 230 руб.
  • Контрольная работа 250 руб.

Со средним арифметическим также связано другое понятие — математическое ожидание.

Определение 2

Математическое ожидание — это значение среднего арифметического некоторой величины при стремлении количества измерений этой величины к бесконечности.

Математическое ожидание также могут обозначать буквой $M$, а среднее арифметическое некоторого количества измерений исследуемой величины могут называть оценкой математического ожидания.

Определение 3

Абсолютной погрешностью измеряемой единичной величины, иногда также называемой вариантой, является её разность со средним значением $M$.

Для того чтобы найти абсолютную погрешность некоторого единичного измерения $x_i$, обозначаемую греческой буквой $Δ$ (произносится как «дельта»), необходимо отнять от измеренного значения $x_i$ среднее арифметическое $M$: $Δx_i=x_i – M$.

Часто для оценки единичного измерения пользуются не только абсолютной погрешностью, но и относительной погрешностью $δ$, она рассчитывается по формуле:

$δ=\frac{|Δx_i|}{M} \cdot 100$%.

Оценив относительную погрешность каждого измерения, можно отбросить значения, погрешность которых слишком большая и при дальнейших расчётах использовать только значения с небольшими относительными погрешностями.

Определение 4

Среднее арифметическое квадратов всех абсолютных погрешностей называют дисперсией и обозначают буквой $D$.

Дисперсия является характеристикой разброса значений некоторой измеряемой случайной величины $x$.

Что такое среднее квадратичное отклонение и как его определять

Теперь перейдём непосредственно к термину «среднеквадратическое отклонение».

Среднеквадратическим отклонением называют значение квадратного корня из дисперсии случайной величины $D$.

Обозначается среднее квадратичное отклонение греческой буквой $ϭ$ (читается как «сигма»).

Формула для среднего квадратичного отклонения для пяти измеренных значений величины $X$ выглядит так:

$ϭ=\sqrt{\frac{Δx_12 + Δx_22 + Δx_32 + Δx_42 + Δx_52}{5}}$,

где $Δx_1… Δx_5$ — абсолютные погрешности каждого конкретного измерения.

Если дисперсия и, соответственно, среднее квадратическое отклонение достаточно малы, то это значит, что величина большинства погрешностей не велика по модулю и все значения измеряемой величины достаточно близки к среднему.

В идеальном случае когда дисперсия равна нулю, наблюдается соотношение $x_1=x_2=x_3=….=x_n=M$, то есть каждое измеренное значение равно среднему арифметическому.

Покажем, как применять полученную информацию.

Пример 1

Задача:

В ходе эксперимента по физике ребята пять раз измерили напряжение и получили следующие значения: $U_1= 5,22$ В; $U_2= 5,30$ В; $U_3=5,27$ В; В $U_4=5,23$ В; $U_5=5,20$ В. Найдите абсолютные и относительные погрешности каждого измерения, дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Решение:

Найдём среднее арифметическое, оно равно:

$U_ср=\frac{U_1+U_2+ U_3 + U_4 + U_5}{5}=\frac{5,22 + 5,30+ 5,27+5,23+5,20}{5}=5,244$ В.

Теперь найдём абсолютную и относительную погрешность каждого измерения:

$ΔU_1=U_ср-U_1= 5,244-5,22 =0,024; δ_1=\frac{|U_1|}{U_ср} \cdot 100%=\frac{0,024}{5,244}\cdot 100$%$=0.50$%;

$ΔU_2=U_ср-U_2= 5,244-5,30=-0,056; δ_2=\frac{|U_2|}{U_ср} \cdot 100%=\frac{0,056}{5,244}\cdot 100$%$=1,06$%;

$ΔU_3=U_ср-U_3= 5,244-5,27=-0,026; δ_3=\frac{|U_3|}{U_ср}\cdot 100%=\frac{0,026}{5,244}\cdot 100$%$=0,50$%;

$ΔU_4=U_ср-U_4= 5,244-5,23=0,014; δ_4=\frac{|U_4|}{U_ср}\cdot 100%=\frac{0,014}{5,244}\cdot 100$%$=0,25$%;

$ΔU_5=U_ср-U_5= 5,244-5,20=0,044; δ_5=\frac{|U_5|}{U_ср}\cdot 100%=\frac{0,044}{5,244}\cdot 100$%$=0,84$%.

Сосчитаем дисперсию:

$D=\frac{ΔU_12+ΔU_22+ ΔU_32 + ΔU_42 + ΔU_52}{5}=\frac{0,0242+ (-0,056)2 + (-0,026)2+ 0,0142 + 0,0442)}{5}=0,001304$;

И квадратичное отклонение:

$ϭ=\sqrt{D}=\sqrt{0,001304}=0,0361$.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/srednekvadratichnoe_otklonenie/

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.