Среднеквадратичное значение погрешность

Расчет средней квадратичной и средней арифметической погрешности. Надежность измерения и доверительный интервал

Среднеквадратичное значение погрешность

Для оценки величины случайной погрешности измерения существует несколько способов. Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или средней квадратичной погрешности (ее часто называют сокращенно стандартом измерений). Средней квадратичной погрешностью называется величина

Если число наблюдений очень велико, то подверженная случайным колебаниям величина Sx стремится к некоторому постоянному значению о,

которое можно назвать статистическим пределом Sx: a = Hm5,;c

П-> оо

Собственно говоря, именно этот предел и называется средней квадратичной погрешностью. Квадрат этой величины называется дисперсией измерений – о2. Это та же величина, которая входит в формулу Гаусса. В действительности, однако, всегда вычисляют не величину а, а ее приближенное значение Sx, которое тем ближе к а, чем больше п.

Наряду со среднеквадратичной погрешностью иногда пользуются средней арифметической погрешностью:

При достаточно большом числе наблюдений (практически при А> 30) между Sx и Rx существуют простые соотношения:

В большинстве случаев целесообразнее пользоваться величиной Sx, а не Rx. В первую очередь потому, что, пользуясь стандартной погрешностью Sx, легче определять доверительные вероятности, так как для этого имеются специальные таблицы. При малом п следует всегда пользоваться стандартной квадратичной погрешностью.

Для уменьшения влияния случайных ошибок измерение любой величины производят несколько раз. В результате получают ряд значений величины х: хь х2, х3,…, х„.

Этот ряд значений величины х получил название выборки. Для оценки результата измерений рассчитывается среднее значение выборки – х, которое может отклоняться от истинного значения измеряемой величины: ц = х ± Ах.

Пусть р означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину не большую чем Ах. Это принято записывать в виде

Вероятность р носит название доверительной вероятности, или коэффициента надежности. Интервал значений от ц – Ах до ц + Ах называется доверительным интервалом, т. е.

с вероятностью, равной р, результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала от х- Ах до х + Ах.

Разумеется, чем большей надежности мы требуем, тем большим получается соответствующий доверительный интервал и, наоборот, чем больший доверительный интервал задают, тем вероятнее, что результаты измерений не выйдут за его пределы.

Что такое статистическая значимость (р-уровень)? Статистическая значимость результата представляет собой оцененную меру уверенности в его «истинности» (в смысле «репрезентативности выборки»); р-уровень – это показатель, находящийся в убывающей зависимости от надежности результата.

Более высокий /7-уровень соответствует более низкому уровню доверия к найденной в выборке зависимости между переменными. Именно /7-уровень представляет собой вероятность ошибки, связанной с распространением наблюдаемого результата на всю популяцию. Например, /7-уровень = 0,05 (т. е.

1/20) показывает, что имеется 5 %-ная вероятность, что найденная в выборке связь между переменными является лишь случайной особенностью данной выборки.

Иными словами, если данная зависимость в популяции отсутствует, а вы многократно проводили бы подобные эксперименты, то примерно в одном из двадцати повторений эксперимента можно было бы ожидать такой же или более сильной зависимости между переменными.

Отметим, что это не то же самое, что утверждать заведомо о наличии зависимости между переменными, которая в среднем может быть воспроизведена в 5 % или 95 % случаев. Когда между переменными популяции существует зависимость, вероятность повторения результатов исследования, показывающих наличие этой зависимости, называется статистической мощностью плана. Во многих исследованиях /7-уровень 0,05 рассматривается как «приемлемая граница» уровня ошибки.

Как определить, является ли результат действительно значимым. Не существует никакого способа избежать произвола при принятии решения о том, какой уровень значимости следует действительно считать «значимым». Выбор определенного уровня значимости, выше которого результаты отвергаются как ложные, является достаточно произвольным.

На практике окончательное решение обычно зависит от того, был ли результат предсказан априори (т. е. до проведения опыта) или обнаружен апостериорно в результате многих анализов и сравнений, выполненных со множеством данных, а также на традиции, имеющейся в данной области исследований. Обычно во многих областях результат р

Источник: https://studref.com/438580/logika/raschet_sredney_kvadratichnoy_sredney_arifmeticheskoy_pogreshnosti_nadezhnost_izmereniya_doveritelnyy_in

Оценка погрешностей измерений. Расчет выборочного стандартного отклонения

Среднеквадратичное значение погрешность

Пусть измеряемая имеет известное значение величина X. Естественно, отдельные, найденные в процессе измерения значения этой величины x1,x2,…xn заведомо не вполне точны, т.е. не совпадают с X.

Тогда величина
будет являться абсолютной погрешностью i-го измерения.

Но поскольку истинное значение результата X, как правило, не известно, то реальную оценку абсолютной погрешности используя вместо X среднее арифметическое
,которое рассчитывают по формуле:

(1)

Однако при малых объемах выборки вместо
предпочтительнее пользоваться медианой. Медианой (Ме) называют такое значение случайной величины х, при котором половина результатов имеет значение меньшее, а другая ­большее, чем Ме.

Для вычисления Ме результаты располагают в порядке возрастания, то есть образуют так называемый вариационный ряд. Для нечетного количества измерений n мeдиана равна значению среднего члена ряда.

Например,
для n=3
 
Для четных n, значение Ме равно полусумме значений двух средних результатов. Например,
для n=4
 

Далее рассчитывают среднеквадратичную погрешность (стандартное отклонение выборки), являющуюся мерой разброса и характеризующую случайную погрешность определения:

(2)

Выборочное стандартное отклонение sзависит от объема выборки n и ее значение колеблется по случайному закону около постоянного значения генерального стандартного отклонения σ

Для расчета s пользуются неокругленными результатами анализа с неточным последним десятичным знаком.
При очень большом числе выборки (n>
) случайные погрешности могут быть описаны при помощи нормального закона распределения Гаусса. При малых n распределение может отличаться от нормального.

В математической статистике эта дополнительная ненадежность устраняется модифицированным симметричным t-распределением. Существует некоторый коэффициент t, называемый коэффициентом Стьюдента, который в зависимости от числа степеней свободы (f) и доверительной вероятности (Р) позволяет перейти от выборки к генеральной совокупности.

Стандартное отклонение среднего результата
определяется по формуле:

(3)

Разности между средним
 выборки и средним значением генеральной совокупности μ лежат в Р случаях в пределах, которые при помощи нормального распределения и связанного с ним t-распределения определяются следующим выражением:

(4)

Величина

является доверительным интервалом среднего значения
. Для серийных анализов обычно полагают Р = 0,95.

Таблица 1. значения коэффициента Стьюдента (t)

fР=0,90Р=0,95Р=0,98Р=0,99
16,3112,731,863,6
22,924,306,979,93
32,353,184,545,84
42,132,783,754,60
52,022,573,374,03
61,942,453,143,71
71,902,363,003,50
81,862,312,903,36
91,832,262,823,25
101,812,232,763,17
111,802,202,723,11
121,782,182,683,05

Пример 1. Из десяти определений содержания марганца в пробе требуется подсчитать стандартное отклонение единичного анализа и доверительный интервал среднего значения Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Решение. По формуле (1) подсчитывают среднее значение анализа

                                                   
 = 0,679 .
Далее по формуле (2) находят стандартное отклонение единичного результата

По табл. 1 (приложение) находят для f = n-1= 9 коэффициент Стьюдента (Р = 0,95) t = 2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения.

По табл. 1 (приложение) находят для f=n-1=9 коэффициент Стьюдента (Р=0,95) t=2,26 и рассчитывают доверительный интервал среднего значения. Таким образом, среднее значение анализа определяется интервалом (0,679 ± 0,009) % Мn.

Пример 2. Среднее из девяти измерений давления паров воды над раствором карбамида при 20°С равно 2,02 кПа. Выборочное стандартное отклонение измерений s = 0,04 кПа.

Определить ширину доверительного интервала для среднего из девяти и единичного измерения, отвечающего 95 % – й доверительной вероятности.
Решение. КоэффициентСтьюдента t для доверительной вероятности 0,95 и f = 8 равен 2,31. Учитывая, что

 и
, найдем:

– ширина доверит.

  интервала для среднего значения

 – ширина доверит.  интервала для единичного измерения значения

Если же имеются результаты анализа образцов с различным содержанием, то из частных средних s путем усреднения можно вычислить общее среднее значение s. Имея m проб и для каждой пробы проводя nj параллельных определений, результаты представляют в виде таблицы:

Номер образцаНомер анализа
12i…nj
1x11x12x1i…
2x21x22x2i…
3x31x32x3i…
j…
m

Средняя погрешность рассчитывают из уравнения:

        (5)

со степенями свободыf = n – m, где n – общее число определений, n = m.nj.

Пример 2. Вычислить среднюю ошибку определения марганца в пяти пробах стали с различным содержанием его. Значения анализа, % Mn: 1. 0,31; 0,30; 0,29; 0,32. 2. 0,51; 0,57; 0,58; 0,57. 3.

0,71; 0,69; 0,71; 0,71. 4. 0,92; 0,92; 0,95; 0,95. 5. 1,18; 1,17; 1,21; 1,19.

Решение.

По формуле (1) находят средние значения в каждой пробе, затем для каждой пробы рассчитывают квадраты разностей, по формуле (5) – погрешность.

1)
 = (0,31 + 0,30 + 0,29 + 0,32)/4 = 0,305.
2)
= (0,51 + 0,57 + 0,58 + 0,57)/4  = 0,578.
3)
= (0,71+ 0,69 + 0,71 + 0,71)/4 = 0,705.
4)
= (0,92+0,92+0,95+0,95)/4  =0,935.
5)
 = (1,18 + 1,17 + 1, 21 + 1,19)/4 = 1,19.

Значения квадратов разностей
1) 0,0052 +0,0052 +0,0152 +0,0152 =0,500.10-3.
2) 0,0122 +0,0082 +0,0022 +0,0082 =0,276.10-3.
3) 0,0052 + 0,0152 + 0,0052 + 0,0052 = 0,300.10-3.
4) 0,0152+ 0,0152 + 0,0152 + 0,0152 = 0,900.10-3.
5) 0,012 +0,022 +0,022 + 02 = 0,900.10-3.
Средняя погрешность для f = 4,5 – 5 = 15

s = 0,014 % (абс. при f=15 степеням свободы).

Когда проводят по два параллельных определения для каждого образца и находят значения х' и х”, для образцов уравнение преобразуется в выражение:

(6)

при f = m степеней свободы.

Пример 3. Найти среднюю погрешность в фотометричес­ком определении хрома в стали по двукратному анализу десяти проб с разным содержанием.

Решение. Расчет производят по таблице (с учетом формулы (6)):

Пробах'х”х'-х”(х'-х”)2
13,773,750,020,0004
22,522,550,030,0009
32,462,480,020,0004
43,253,200,050,0025
51,821,850,030,0009
62,052,100,050,0025
70,880,900,020,0004
81,041,020,020,0004
91,101,130,030,0009
101,521,480,040,0004

Средняя погрешность по формуле (6) равна

0,023 % Cr

(при f=10 степеням свободы).

см. также

Математическая обработка результатов химического анализа

Источник: http://www.himikatus.ru/art/modeling/ocwnka-errors.php

Средняя квадратическая погрешность

Среднеквадратичное значение погрешность

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Вот и еще одна средняя, которая связана с погрешностями.

Средняя квадратическая погрешность (СКП) является мерой точности результатов измерений либо функций измеренных величин и является вероятностной характеристикой.

Рис. 3.1. Нормальный закон распределения

случайных погрешностей.

Предположим, что нам известно значение средней квадратической погрешности m. В соответствии с нормальным законом распределения график распределения истинных погрешностей по виду будет подобен графику рис. 3.1. Параметр r характеризует частоту (или частость) появления случайных погрешностей той или иной величины и знака.

При этом вероятность появления погрешностей в заданном наперёд диапазоне, например, ±m, определяется площадью фигуры, ограниченной кривой распределения и отрезками ординат на значениях +m и –m.

Для нормального закона распределения вероятность появления погрешностей в установленных диапазонах равна следующим значениям:

– для диапазона ±m ® Р = 68,3% (» 68%);

– для диапазона ±2m® Р = 95,5% (» 95%);

– для диапазона ±3m® Р = 99,7% (практически 100%).

Таким образом, только в 3-х случаях из 1000 может появиться погрешность, превышающая значение 3m.

Погрешности, по абсолютной величине превышающие 3m (предельную погрешность), принято считать грубыми, и результаты измерений, содержащие эту грубую погрешность, исключают из дальнейшей обработки.

В некоторых случаях, для ужесточения требований к точности измерений, устанавливают предельную погрешность в диапазоне от 2m до 3m.

Таблица 3.1

Значения коэффициента Стьюдента (t) для различных вероятностей (Р)

tP%tP%tP%
0,1 8,0 1,1 72,9 2,1 96,4
0,2 15,9 1,2 77,0 2,2 97,2
0,3 23,6 1,3 80,6 2,3 97,9
0,4 31,1 1,4 83,8 2,4 98,4
0,5 38,3 1,5 86,6 2,5 98,8
0,6 45,1 1,6 89,0 2,6 99,1
0,7 51,6 1,7 91,1 2,7 99,3
0,8 57,6 1,8 92,8 2,8 99,5
0,9 63,2 1,9 94,3 2,9 99,6
1,0 68,3 2,0 95,5 3,0 99,7

Часто значение СКП указывают с коэффициентом t (коэффициент Стьюдента), который и определяет доверительный вероятностный интервал (х ± tm) результата измерений при установленном уровне вероятности Р. Для этого удобно пользоваться табл. 3.1.

Например, необходимо определить доверительный интервал для величины Х с вероятностью 90%. По таблице интерполированием находим, что для Р1 = 89,0% t1 = 1,6, для Р2 = 91,1% t2 = 1,7: = 1,6476 » 1,65.

Это значит, что результат измерений с вероятностью 90% находится в пределах (Х ± 1,65 m).

Если измеряемая величина Х известна, то значение СКП определяется по формуле Гаусса:

, (3.9)

где Δ – истинные погрешности измерений.

Напомним, что знак […] – это знак гауссовой суммы.

Для случаев, когда измеряемая величина неизвестна, используется формула Бесселя:

, (3.10)

где v – уклонения результатов измерений от среднего арифметического.

Как видно из формул (3.9) и (3.10), в случае, когда измеряемая величина известна, для оценки точности достаточно уже одного измерения (оно и является необходимым).

Как уже указывалось выше, чаще всего формулу Гаусса используют при оценках точности эталонируемых приборов при измерении известных величин (эталонов). Для оценки точности по формуле Бесселя необходимыми являются как минимум два измерения.

Формула Бесселя используется при оценках точности результатов массовых (многократных) измерений одной величины, заранее неизвестной.

При возрастании числа измерений значения СКП, полученные по формулам Гаусса и Бесселя, становятся практически одинаковыми (примерно с n ³ 20). При этом значение СКП одного измерения стремится к пределу mпред, который определяется точностью прибора, точностью метода или программы измерений.

Очевидно, выше об этом уже было сказано, что на практике невозможно, да и нецелесообразно по ряду причин, обеспечивать весьма большое число измерений одной величины.

При этом практическое число измерений должно обеспечивать получение результата измерения с заданной точностью при установленном уровне доверительной вероятности.

Поскольку число измерений является ограниченным, то сама СКП содержит погрешность, определяемую по приближенной формуле:

. (3.11)

Она так и называется – средняя квадратическая погрешность средней квадратической погрешности (СКП СКП).

Здесь уместно возвратиться к классификации погрешностей. Не все виды погрешностей рассмотрены нами выше.

Часто при исследованиях рядов погрешностей измерений используют т.н. вероятную погрешность, которую обозначают буквой r. Величина вероятной погрешности может быть оценена по приближенной формуле

(3.12)

в предположении, конечно, что распределение погрешностей подчиняется нормальному закону.

Вероятную погрешность называют еще срединной погрешностью. Если не хочется делать вычисления по формуле (3.

12), потому что в неё входит значение m, которое необходимо получить по формуле Бесселя, то можно определить вероятную или срединную погрешность, расположив ряд погрешностей по их возрастанию по абсолютным величинам.

В середине полученного ряда и будет находиться значение этой погрешности. Это если число погрешностей нечётное. А если оно чётное, то срединной погрешностью будет среднее значение соседних погрешностей в середине ряда.

Не надо путать срединную погрешность со средней погрешностью vo, которую можно получить тоже по простой формуле:

. (3.13)

Здесь также требуется условие подчинения ряда измерений (погрешностей) нормальному закону.

Средняя погрешность является математическим ожиданием абсолютных значений отклонений результатов измерений какой-либо величины от математического ожидания для этих результатов. Приближенно значение средней погрешности можно оценить по формуле:

, (3.14)

где vi – уклонения результатов измерений от их среднего арифметического.

Часто формулу (3.13) используют для предварительной оценки средней квадратической погрешности:

. (3.15)

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Дата добавления: 2015-11-05; просмотров: 6515 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов

Источник: https://lektsii.org/3-97830.html

Поделиться:
Нет комментариев

    Добавить комментарий

    Ваш e-mail не будет опубликован. Все поля обязательны для заполнения.